Algebraische Geometrie by Claus Scheiderer PDF

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By Claus Scheiderer

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Definition. Ein Funktor F : C → D heißt eine Aquivalenz von Kategorien, wenn es einen Funktor G : D → C mit G ◦ F ∼ = idC und F ◦ G ∼ = idD gibt. Ein solcher Funktor G heißt eine Quasiinverse zu F . 11. Satz. Genau dann ist F : C → D eine Aquivalenz von Kategorien, wenn F volltreu und essentiell surjektiv ist. Zwei Kategorien werden als im wesentlichen gleich betrachtet, wenn sie zueinander a ur Kategorien kann definiert werden, ¨quivalent sind. Der Isomorphiebegriff f¨ ist aber zu eng und wenig n¨ utzlich.

Dies ist eine abgeschlossene Bedingung an b. 4. Theorem (Hauptsatz der Eliminationstheorie). F¨ ur das Ideal Iˆ := g ∈ k[y] : ∃ N ≥ 0 mit xN g, . . , xN g ∈ I 0 m ˆ in k[y] gilt π(X) = V(I). Beweis. F¨ ur i = 0, . . , m sei Ui = D+ (xi ) × An und Xi = X ∩ Ui . Wegen n P × A = U0 ∪ · · · ∪ Um ist m m π(X) = m π(Xi ) = i=0 π(Xi ), i=0 wobei die letzte Gleichheit wegen der schon bekannten Abgeschlossenheit von π(X) gilt. Wir verwenden den Hom¨ oomorphismus (vgl. 9) 1 (i) ∼ φi : Ui → Am × An , (x, y) → x ,y .

ELEMENTARE SPRACHE DER KATEGORIEN UND FUNKTOREN 47 5. Die Komposition von zwei Funktoren ist wieder ein Funktor. 6. Sei F : C → D ein Funktor. F¨ ur jeden C-Isomorphismus f : x → y ist F (f ) : F (x) → F (y) ein D-Isomorphismus. 7. Die Inklusion D ⊂ C einer Unterkategorie ist ein Funktor. Ist dieser voll (also volltreu), so heißt D eine volle Unterkategorie von C. Das bedeutet also: F¨ ur alle x, y ∈ ob(D) ist HomD (x, y) = HomC (x, y). 8. Definition. Seien C, D Kategorien und F1 , F2 : C → D zwei Funktoren.

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by Paul

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