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By Dirk Ferus

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Daraus folgt die Behauptung. 2. Fall: a > 0. Dann gilt √ √ |xn − a| |x − a| √ ≤ n√ . | xn − a| = √ xn + a a Daraus folgt die Behauptung. Schlussbemerkung zur Axiomatik der reellen Zahlen. Man kann zeigen, dass die reellen Zahlen durch die Axiome (A1) − (A3), (M 1) − (M 3), (D), (O1) − (O4) und (V ) eindeutig bestimmt sind. Je zwei Mengen mit diesen Strukturen sind isomorph: Es gibt eine bijektive Abbildung zwischen ihnen, die alle Strukturen erh¨alt. Und man kann (auf der Basis einfacherer Axiome) ein Modell f¨ ur die reellen Zahlen konstruieren.

Daher ist a ≤ b. Ein wichtiger Begriff ist der der Teilfolge: 48 Definition 79. Sei (xn ) eine Folge. Eine Teilfolge von (xn ) ist eine Folge (yk )k∈N , f¨ ur die es eine streng monoton wachsende Folge (nk )k∈N nat¨ urlicher Zahlen gibt, so dass yk = xnk f¨ ur alle k ∈ N. Man sagt oft einfach: Sei (xnk )k∈N eine Teilfolge von (xn ). Die Teilfolge entsteht aus der Originalfolge durch Weglassen von Gliedern, so dass aber noch eine unendliche Folge verbleibt. n Beispiel 80. Die Folge (1/2n) ist eine Teilfolge der Folge ( (−1) n )n≥1 .

Wir zeigen, dass die Folge (21) konvergent ist gegen ein a > 0 mit a2 = b. Also besitzt wirklich jede positive Zahl b eine (positive) Quadratwurzel a = Beispiel 6. Wir zeigen sogar einen allgemeineren Sachverhalt: √ b, vergleiche Satz 69 (Existenz von Wurzeln). Seien b und x0 > 0 und k ∈ N, k ≥ 2. Dann konvergiert die mit x0 beginnende rekursiv definierte Folge xn+1 := xn 1 + 1 k b −1 xkn gegen die einzige positive L¨ osung der Gleichung xk = b. F¨ √ur den √ Grenzwert schreiben wir b := 2 b. √ k b und nennen ihn die k-te Wurzel aus a.

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Analysis I [Lecture notes] by Dirk Ferus

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